629章 橢圓曲線的秩

  在數學領域，沈奇的名字無處不在。


  沈奇在《數論史》中對BSD猜想進行了闡述，BSD猜想與其他不少數論問題有著千絲萬縷的聯繫，研究BSD猜想，實際上也是對近代數論史的溫習。


  在近代數論的發展歷史上，1995年是一個關鍵節點。


  這一年，懷爾斯通過確立橢圓曲線與模型理論之間的一種聯繫，從而證明了費馬大定理。


  這一年對於BSD猜想也有重大影響，在此之前，數學家們無法百分百肯定BSD猜想是否有意義。


  懷爾斯在證明費馬大定理的過程中，順手證明了谷山-志村猜想，他在證明這兩個猜想的同時，也使得BSD猜想的數學意義被數學界所肯定。


  那麼BSD的數學意義是什麼呢？


  證明了這個猜想，又會起到什麼作用？

  包括沈奇在內，數學界一致認為如果BSD猜想被證明，那麼沙群有限理論也隨之被證明，而沙群是理解數學對象的算術性質的核心之一。


  換言之，BSD猜想若被證明，則「代數數域上的信息在什麼程度上可由所有局部域上的信息粘合過來」將得到確切的答案，這已上升到了哲學高度，這種哲學被稱為「局部整體原則」。


  證明一個數學問題，完善一套哲學體系。


  這就是BSD猜想的核心意義。


  數學、哲學都是高冷的科目，數學+哲學的CP高冷到沒朋友。


  嘔心瀝血、潛心研究BSD猜想的學者非常少，他們是孤獨的煙花，綻放在萬尺高空。


  截止目前，最接近真相的BSD猜想證明方案來自龔長偉、斯金納，以及巴爾加瓦、山卡爾。


  這四位數學家耗費十幾年所作的研究成果轉化為論文，一共是驚人的6098頁，可以塞滿一輛汽車的後備箱。


  龔長偉、斯金納、巴爾加瓦、山卡爾四位數學家證明了一個結論：至少有三分之二的橢圓曲線滿足BSD猜想。


  這四位數學家在BSD猜想上取得的成績，相當於陳景潤證明了哥德巴赫猜想1+2。


  這四位數學家裡的龔長偉是中國人，他正是歐葉在哥倫比亞大學讀研時的導師。


  趙天看著白板上的數學式子，問到：「我有個疑問，沈教授在《數論史》里對BSD猜想的前世今生剖析的這麼透徹，他為啥不證明BSD猜想？」


  能回答這個問題的人只有歐葉，她說到：「因為沈教授水平有限。」


  「哈哈哈！」


  「略略略。」


  「……」


  聽聞葉子姐的回答后，三個學生表情各異。


  敢說沈教授水平有限的人，全世界怕是只有葉子姐一人吧。


  全世界只許我嗶嗶你，其他人沒有資格。


  這也是種另類的秀恩愛呢。


  既然沈教授水平有限，那麼BSD猜想就交給水平無限的團隊來做吧。


  歐葉擅長的是解析數論，解析數論是數論里最硬的一個分支。


  如果把代數數論比喻為軟科幻小說，解析數論就相當於克拉克寫的硬科幻小說。


  歐葉大概就是數論學家裡的克拉克。


  沈奇原本也很克拉克，他使用純粹的解析數論方法證明了黎曼猜想，可謂無敵硬。


  黎曼猜想搞定之後，沈奇在學術行為上發生了一些變化，他變的沒那麼硬了，他在處理一些學術問題時更偏向軟硬結合的方式，這也是未來數學發展的主流趨勢，學科交叉越來越頻繁、緊密。


  沈奇學術思想的微妙變化或多或少影響到了歐葉，畢竟兩人睡一張床上。


  歐葉意識到，純粹的數論方法是搞不定BSD猜想的，換曾經無敵硬的沈奇來，他也搞不定。


  於是在BSD猜想這個問題上，歐葉選擇數論+橢圓曲線+……相結合的方式，隨大流了。


  如果採用軟硬結合的主流研究手段，那麼水平有限的沈教授對於BSD猜想還是做了點兒間接性貢獻的。


  在BSD猜想這個問題上，r越大，數學家們希望看到的有理點就越多，r是曲線的秩，是這個問題里很重要的一個參數。


  雖然全世界的數學家們近年來在橢圓曲線理論的研究上取得了顯著的進展，但秩仍是個迷。


  甚至於秩該如何計算，或者秩是不是可以無窮大這種基本問題都沒解決。


  沈奇在《數論史》里寫到：「……為了便於你更好的理解本章所闡述的BSD猜想，建議你閱讀本人所著的另一本書《黎曼猜想證明的前前後後》。」


  沈奇這麼寫的主要目的，是為了讓《黎曼猜想證明的前前後後》的銷量多一點。


  當然了，讀者們如果理解了黎曼猜想，對於BSD猜想的解讀也會有一定幫助。


  讀者們只需了解一點點黎曼zeta函數的知識，就能知道橢圓曲線里的Hasse-Weil函數這種形式其實就是歐拉乘積。


  沈奇對於BSD猜想真正的貢獻，來自於一篇他未曾發表的論文稿。


  在這份論文稿里，沈奇隨手畫了一張圖。


  他原本是想畫一條比目魚，然後看圖說話給諾菲講故事。


  結果畫著畫著，沈奇把魚畫成了坐標系和曲線。


  這條奇醜無比的「魚」，歐葉是看過的。沈奇試圖用群論的思路，去解釋橢圓曲線里的秩。


  但沈奇也沒徹底解釋清楚橢圓曲線里秩的規律以及計算原則，他畫完「魚」之後就沒有下文了。


  反倒是歐葉深受啟發，她從這條「魚」里悟出了一種新的思路。


  歐葉在白板上寫到：


  E（Q）≡Z^r×E（Q）f

  E（Q）={（-d，0），（0，0），（d，0）……


  這裡的E（Q）實際上是一個交換群，即阿貝爾群。Z是在加法下的無窮整數集。


  BSD猜想的定義不難理解，難的是證明推導過程。


  BSD猜想的證明推導是非常複雜繁瑣的一件事情，需要許多儲備知識。


  數論、群論、橢圓曲線、黎曼zeta函數、歐拉乘積、哈塞-韋伊函數乃至二次數域的高斯猜想……所需的知識量太多了。


  好在趙天、小雲、曾寒三人是學生里的精英，他們仨的知識儲備量還算OK。


  科學研究表明，學渣花在學習上的時間遠多於學霸。


  趙天、小雲、曾寒三位學霸花在學習上的時間反而多於學渣，他們是超級勤奮的學霸，所以他們有資格在這裡跟著葉子姐一起攻克BSD猜想。


  聰慧的小雲很快理解了歐葉的戰略意圖：「所以說，我們要以群論為突破口？」