第一百三十四章 老師，還有什麽問題嗎
【設E， F是兩個Banach空間，令A:D(A)′E→F為一個閉算子，且D(A)′=E。求證：D(A′)′σ(F′，F)=F′D(A′)σ(F′，F)=F′。其中A′是A的伴隨算子，F′是F的對偶空間，σ(F′，F)為F′上的弱*拓撲， D(A′)′σ(F′，F)表示D(A′)在弱拓撲σ(F′，F)下的閉包。】
葉秋走上講台，看著黑板上已經寫好的例題。
“怎麽樣，能解不？”
禿頂老師似笑非笑地看著葉秋。
“問題不大！”
葉秋沉吟一會兒，便直接唰唰唰寫了起來；
【解：設F是E的子向量空間滿足F′≠E.則存在f∈E"不為0，使得(f，x)=0，x∈F……】
教室裏忽然安靜了下來，所有人都緊盯著黑板。
慢慢地，議論聲漸起。
“我去，他還真會解！”
“現在的高中生都這麽誇張了嘛？”
“麻蛋，泛函分析我都還沒搞明白呢？這家夥竟然學會了。”
“話說高中時期競賽班的學生好像也沒那麽厲害吧！”
“這家夥該不會真有能耐一小時不到就解完冬令營考試的三道大題吧……”
……
教室裏響起一陣嗡嗡聲。
不少原本質疑葉秋的人，一個個臉上也流露出了凝重之色。
要知道，泛函分析屬於數學係的專業基礎必修課，主要研究無窮維函數空間的數學分析，一般要到大三才能學到。
在學習這門課之前，你首先得掌握《高等代數》《數學分析》《實變函數》《集論拓撲》《複變函數》《實分析》《常微分方程》《偏微分方程》等課程。
問題是，這些課程都隻有大學才有，至少要花兩年以上的時間才能掌握。
而講台上這個年輕人，不過是一名高中生。
高中時代，語文數學英語物理化學生物都學不過來了，他哪來的時間，哪來的精力掌握這些知識？
這些人自然不知道，過去兩個多月，葉秋除了抽出一小部分精力複習五大學科競賽之外，剩下的時間，全部放在了大部頭的《數學原理》上麵。
他非但將布爾巴基學派的《數學原理》全部看了一遍，而且還在進一步深入反芻研究。
別說本科階段學習的線性泛函分析了，即使研究生階段才能學到的非線性泛函分析，對他而言也沒什麽難度。
唰唰唰——
葉秋在黑板上輕鬆寫完最後一行字，笑著對禿頂老師道：“老師，解完了！”
禿頂老師若有所思地看著葉秋：“泛函分析的知識你都掌握了？”
“差不多全都掌握了！”
葉秋微微一笑，淡定道。
“那你能說一說自己對這門課程的理解嗎？”
禿頂老師眼睛冒光。
如果葉秋沒有吹牛，真的高中階段就學完了泛函分析的內容，那毫無疑問是一名數學天才。
到時候就算在數學奧林匹克冬令營裏麵表現一般，自己也可以強烈建議學校錄取他！
葉秋微微一愣，說道：“行吧，那我就講一講！”
“眾所周知，泛函分析這門學科誕生於20世紀的初期，本身是數學發展中公理化的一個結果。也就說，數學家希望實現分析學的公理化。同樣的公理化運動也出現在幾何和代數上。現在的泛函分析已經變成一個龐然巨獸了，特別是把它和調和分析放在一起的時候，很難分清楚什麽叫做調和分析，什麽叫做泛函分析。不過我接下來要講的不是為了搞清楚它的定義，而是關注它的基礎和未來的發展趨勢。”
“我們首先討論一些早期的抽象分析，尤其是數學家如何將一個特殊的例子擴大化，使之成為一般意義上的定理。我們的討論主要涵蓋以下內容。一、弗雷德霍姆，希爾伯特關於積分方程的工作；二、Volterra和Hadamard關於動量問題的研究；三、Lebesgue，Frechet和Riesz在抽象空間上的工作以及最後，Hahn和Banach關於對偶這個概念的研究……”
葉秋的語氣不疾不徐，卻吸引了所有人的目光。
一旁的禿頂老師眼睛也不由得開始瞪圓。
正常講述一門課的時候，通常從基礎開始，然後慢慢擴展並深入挖掘。
但葉秋的講課方法完全不一樣，他是從泛函分析的發展史開始講解，結合數學史的一些知識，然後再慢慢深入。
這種講解方法，無疑對學生更有吸引了。
而且最關鍵的是，葉秋在講解的時候，往往從最本質的一些東西出發，即使一些相當抽象的概念，他也能輕易將其轉化成同學們更容易理解的概念。
甚至連禿頂老師自己，也漸漸被葉秋的講課給吸引住了。
教室裏漸漸安靜了下來，隻留下葉秋的聲音在空中回蕩。
“弗雷德霍姆和希爾伯特關於積分方程的工作，我們可以從以下兩個具體事例開始。最早的積分方程來源傅立葉研究熱問題。1822年，傅立葉討論了如果去逆向解如下的方程：f(x)=∫Re^itxg(t)dt，也就是已知f，怎麽求出g。現代的語言中，這其實就是求傅立葉變換的逆變換……”
“其次，就是Liouville在研究二階常微分方程的時候發現它們等價於一類積分方程。比如，方程的解f“(x) g(x)=f(x)。如果滿足邊界條件f(a)=1，f"(a)=0利用這個方程的基本解可以證明方程的解滿足……”
……
鈴鈴鈴——
不知何時，下課鈴聲響了起來。
葉秋放下粉筆，微笑道：“時間差不多了，這是我本人關於泛函分析的理解，老師，您還有什麽問題嗎？”
禿頂老師這才回過神來，他深深地看了葉秋一眼，並沒有直接回答葉秋，而是轉向下麵的同學：“大家覺得這位葉秋同學講得怎麽樣？”