第403章 切比雪夫型濾波器

  納維-斯托克斯方程

  描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。簡稱N-S方程。


  1827年，納維說：“我提出了粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。我隻考慮了不可壓縮流體的運動。”


  1831年，泊鬆說：“我考慮了可以壓縮的情況。”


  1845年，斯托克斯說：“我獨立提出粘性係數為一個常數的形式。”


  路人甲說：“後來大家稱此為納維-斯托克斯方程，又叫NS方程。”


  路人乙說：“看似描繪生活中最簡單的現象，但確實物理界最難的方程。為什麽那麽難？”


  路人甲說：“因為跟湍流有關係。這是一種再常見不過的現象。無論是在3萬英尺高空飛行時顛簸的氣流，還是家裏浴缸出水口形成的漩渦，本質都是湍流。然而，熟悉的湍流卻是物理世界中最難以理解的部分之一。”


  路人乙說：“我知道。一條平穩流動的河流，是一個典型的無湍流體係，河流的每一部分以相同的速度運動。湍流則打破了這一規律，使得水流不同部分的運動方向和運動速率都不相同。物理學家將湍流的形成描述為：首先，平穩流動中出現一個渦流，這個渦流中會形成更多小渦流，小渦流進一步分化，使得流體被分解成許多離散的部分，在各自運動方向上與其他部分相作用。”


  路人甲說：“科學家們希望理解的是，平流如何一步步瓦解成為湍流、已產生湍流的體係之後的形狀是怎樣演變的。但千禧年大獎懸賞的是更為簡潔的問題：證明方程的解總是存在。換句話說，這組方程能否描述任何流體，在任何起始條件下，未來任一時間點的情況。”


  來自普林斯頓大學的數學家Charlie Fefferman說道，“第一步就是要盡力證明這些方程可以產生一些解，盡管這並不能讓我們真正理解流體的行為，但不這樣做，就完全無法入手這個難題。”


  路人乙說：“如何證明那些解存在呢？首先可以考慮方程在什麽條件下會“無解”。”


  路人甲說：“納維-斯托克斯方程組涉及流速、壓力等物理量的變化。”


  路人甲說：“運算這組方程，經過有限的時間，係統中出現一個以無限速度運動的粒子。那樣就會很麻煩：對於一個無限大的量，我們無法計算出它的變化。數學家們把這種情況稱為“發散”。在“發散”的情況下，方程失效，解也就不複存在。”


  路人乙說：“證明“發散”的情況，或者說方程解總是存在，不會發生，等同於證明流體中任何粒子的最大運動速率，被限製在某一有限的數值之下。相關物理量中，最重要的量是流體中的動能。”


  路人甲說：“當我們用納維-斯托克斯方程對流體建模，流體會具有一定初始能量。但是在湍流中，這些能量會聚集起來。原本均勻分散在流體中的動能，可能會聚集在任意小的渦流中，那些渦流中的粒子在理論上可以被加速到無限大的速度。”


  普林斯頓大學的Vlad Vicol說：“當我的研究進入越來越小的尺度，動能對於方程解的控製作用則越來越弱。解可以是任意的，但我不知道如何去限製它。”他和Tristan Buckmaster合作完成了有關納維-斯托克斯方程的最新工作。


  路人乙說：“根據方程失效的尺度，數學家們對像納維-斯托克斯這樣的偏微分方程進行分類。”


  路人甲說：“納維-斯托克斯方程就處於分類譜係的極端。”


  路人乙說：“這組方程中的數學難度，某種意義上精確地反映出其所描述湍流體係的複雜程度。”


  Vicol解釋說：“在數學角度看，如果你將某一點放大，那麽就會失去解的部分信息，但是湍流的研究恰恰就是這樣——動能從宏觀傳遞向越來越小的尺度。所以，湍流的研究要求你不斷地放大。


  路人甲說：“當談及物理背後的數學公式，我們很自然地會想到：這會不會給我們研究物理世界的方式帶來變革？”


  路人乙說：“納維-斯托克斯方程和千禧年大獎引出的答案既是肯定也是否定的。經過近200年的實驗，這些方程確實有效：由納維-斯托克斯方程預測的流體流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一位物理學家，實驗中這樣的一致性或許已經足夠。但數學家需要的更多——他們想要確定這組方程是否具有普遍性，想要精確捕捉流體的瞬時變化，無論何種初始條件，甚至去定位湍流產生的那個起點。”


  Fefferman說：“流體行為的詭譎總是令人驚歎。而那些行為理論上可以用這組基本方程來解釋。它能很好地描述流體的運動。但是從方程描述流體運動到描述任意流體的真實運動，這一過程仍然未知。”


  N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。


  它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，在求解思路或技術沒有進一步發展和突破前隻有在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解；但在部分情況下，可以簡化方程而得到近似解。


  例如當雷諾數 Re