第586章 薑子麟的一個離散幾何問題（理解）.

  以色列理工學院的薑子麟和莫斯科物理技術學院的Alexandr Polyanskii證證明了匈牙利數學家LászlóFejes Tóth球帶猜想(zonenjecture)。


  ??該猜想是在1973年提出的，它描述了：如果一個單位球麵被幾個長條完全覆蓋，則它們的寬度總和至少是π。


  ??其證明發表在《Geometric and Functional Analysis》雜誌上，該證明對離散幾何以及其新問題得以形成非常重要。


  ??Tarski證明了半徑為1的圓不能完全被寬度小於2（圓的直徑）的長條所覆蓋。圖像中的每一長條都有自己的長度和顏色。


  ??離散幾何研究點、線、圓、多邊形和其他幾何體的組合性質。


  ??例如，它處理的問題有：在一個球的周圍最多能放多少個體積相同的球？或者，如何以最密集的方式放置最多的圓在某一平麵，或相同大小的球在某一空間？


  ??這些問題的解決方案有著實際的應用。


  ??因此，最密堆積問題有助於優化編碼和修正數據傳輸中的錯誤。


  ??另一個例子是四色定理，它的內容是：四種顏色足以繪製任何一個球麵地圖，使得沒有任何兩個相鄰的區域具有相同的顏色。


  ??它促使數學家引入眾多對於化學、生物學、計算機科學以及物流係統的最新發展至關重要的圖論概念。


  ??László Fejes Tóth球帶猜想與離散幾何學中的許多其他問題密切相關，這些問題涉及用長條覆蓋表麵，在20世紀得到解決。


  ??第一個就是所謂的“木板問題”，涉及到用平行線組成的長條來覆蓋圓盤。


  ??Tarski和Moese提供了一個簡單而優雅的證明，用來覆蓋圓麵的長條（或木板）的寬度和不超過圓盤的直徑。這就是說，沒有比用寬度與該圓盤直徑相等的木板來覆蓋它更好的方法了。


  ??Th?ger Bang隨後解決了用長條覆蓋任意凸體的問題。


  ??也就是說，他證明了覆蓋單個凸體的長條的寬度之和，即能覆蓋凸體的單個長條的最小寬度，至少是物體本身的寬度。


  ??作者所處理的問題是不同的，因為它涉及到用特殊構造的區域覆蓋一個單位球麵。


  ??具體來說，每個區域都是球體與某個三維平麵的交，其中平麵是包含在兩個平行平麵之間的空間區域，這兩個平行平麵相對於球心是中心對稱的。


  ??或者，可以在測地線的度量空間中定義區域，而不必求助於木板：單位球麵上的寬度ω區域是距離大圓或赤道不超過ω/2的一組點，各點之間的距離被測量為連接它們的最短弧。


  ??數學家們必須找到覆蓋單位球麵的這些長條的最小寬度和。


  ??因此，這個問題不同於以前解決的測量寬度的方法：它被定義為弧的長度，而不是平行線或平麵之間的歐幾裏德距離。


  ??薑子麟和Polyanskii提出的證明是由Bang啟發而來的，他通過在物體內構造一個特殊的有限點集來解決用長條覆蓋物體的問題，其中應當有一個點不被任何一個長條所覆蓋。


  ??在某種程度上，Bang和作者都提出了矛盾的證明。


  ??在球帶的猜想中，數學家們假設，完全覆蓋單位球麵的長條的寬度和小於π，並試圖找到一個矛盾--即找到一個位於球體上的點，但不在任何一個長條裏。


  ??作者們證明了，在三維空間中，可以找到這樣一個點集，其至少有一個點不被覆蓋球體的長條所覆蓋，從而也不會被該區域覆蓋。


  ??如果該點集全位於球體內，那麽就很容易在球麵上繪製另一個也不被長條所覆蓋的點。


  ??如果集合中的任何一點恰好位於球體之外，那麽就有可能用一個與所有較小長條寬度和等寬的較大長條代替這幾個較小的長條。


  ??因此，可以在不影響其寬度和的情況下減少初始問題中的長條數。


  ??最終，球體上的一個點被確定為不被長條覆蓋的點。


  ??這與長條的寬度和小於π的假設背道而馳，也就證明了球帶的猜想。


  ??這個問題在n維空間中得到了解決，作者說，這與三維空間中的情形沒有什麽不同。


  ??“Fejes Tóth問題已經吸引了離散幾何學領域的數學家們在40多年的注意力。”


  ??莫斯科物理技術學院離散數學係的作者Alexandr Polyanskii說到，“我們很幸運的找到了這個問題的一種簡潔的解，Fejes Tóth問題促使我們去考慮另一個更為基本的猜想：球體被定義在球體與三維平麵的交集上的移動長條所覆蓋，該長條不一定中心對稱。”


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