第143章 數學音律
勝吉十九年九月二十六，由於有了昨日的鋪墊，沈方幹脆在草廬中支起了黑板，給沈披、沈括及三個兄弟講起了數學和音樂。
若說“理生氣並寓於氣中”、“理在氣先”的最佳證據，非數學和音樂莫屬。
沈方在昌國技術學院培訓過大工基本的數學，其講稿被收集起來，供沈披、沈括及沈家子侄學習，對於用數字計數及基本的四則運算，沈德等人已頗為熟悉，沈方快速複習一遍後，開始引入代數和方程的概念。用抽象的符號來代替數字，使難度一下子上升了許多，沈披、沈括自己可以很快適應，但沈德、沈封、沈朗三個兄弟卻直撓頭。沈方隻好把x、y這些符號換成一筐蘋果、一籃梨等，等三個兄弟熟悉了方程式後，再用x、y這些字母將具象化的蘋果和梨取代回來。
“a、b、c、d、x、y這些符號僅僅代表一個數而已，大家死記住就行了。”沈方輕吐一口氣，開始介紹一些最基本的最基本的幾何定理。歐式幾何從二十六個定義，五個幾何公理，五個一般公理開始，由這十條公理推導出整個龐大的歐幾裏得體係。很顯然《幾何原本》並不適合沈德這樣的小孩子學習，其嚴密的邏輯適合數學家去學習研究，一般人隻需要學會使用其中的定理即可。
“勾股定理大家知道嗎？”
“勾三、股四、弦五。”沈德大聲說道。
“這是勾股定理的特例，”沈方一邊點頭，一邊隨手在黑板上畫了一個直角三角形。“勾股定理是指直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方之和。”
“那麽，如何勾股定理如何證明呢？”
“通過青朱出入圖。”沈括當然知道證明方法，便在黑板上直角三角形的基礎之上，以長、短邊各畫了兩個正方形，並注明青方、朱方，然後再以斜邊畫了一個正方形與兩個小正方形相交。正方形相交部分，割出來六個大小不等的三角形，沈括將兩個小正方形被割出的部分補進大正方形空下的部分，剛好補滿。
沈括采取的方法是是東漢末年數學家劉徽根據“割補術”運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，通俗易懂，沈德等三人看了一會兒，終於看懂了，每個人都興奮起來。
“勾股定理的證明方法有幾百種，剛才爹爹用的是幾何證明法，我這裏也有一個幾何證明法，乃是一名姓畢的數學家所發明。”
“可是畢昇的族人？”沈披問道。
沈方一愣，倒是沒想到沈披會聯想到前日提過的畢昇，“大伯，這畢氏卻不是我華夏之人，乃是與孔聖人同一時期，極西之歐羅巴洲希臘國之人，全名叫畢達格拉斯，這畢氏認為世界皆可以用數字來描述，並把音樂當做數學的應用，用來展示數字的完美。當初，他發現並證明勾股定理後宰殺了一百頭公牛來感謝神靈賜予靈感。”
小孩子們“哇”地叫出聲來，不知道是讚歎畢氏的大手筆，還是驚訝於畢氏的殘忍。
沈方在黑板上麵了一個直角三角形，並順著兩條直角邊延長至兩條直角邊之和的長度，並以這個長度畫了一個正方形。然後再延著這個大正方形內側畫了三個與原來直角三角形相同的三角形，並構成了風車的形狀。
“大家看，四個三角形的斜邊正好構成一個正方形，這個麵積就是斜邊的平方，”沈方將四個三角形兩兩對應，形成兩個長方形，並用這兩個長方形，在大正方形裏圍成一大一小兩個正方形，“大家看，這兩個小正方形正好各是兩條直角邊平方。”
這個方法直觀明確，比剛才沈括介紹的青朱出入圖更容易理解，孩子們一下便看明白了，就連沈披、沈括也讚歎道，“果然巧妙，值一百頭公牛。”
“上麵兩個是幾何圖形證明法，我再給大家介紹兩個計算推理方法。”
沈方在剛才畢氏證明方法的圖之上，標清a、b、c，其中a、b是直角邊，c是斜邊。
“這個大正方形的麵積等於（a+b）的平方，同時也等於四塊小三角形加中間小正方形的平方。三角形的麵積公式剛才講了是a乘b除以2，那麽大家看這個方程式。”
沈方在黑板上寫下：
1/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2
2ab+c^2=a^2+2ab+b^2
最後沈方將等式兩邊的2ab劃掉，說道，“把兩邊的2ab刪掉，正好得到兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。”
沈披和沈括看得很清楚，包括其中的計算過程也非常簡單，他們竟然看呆了，孩子們也發出驚歎聲，“這麽簡單！？”
“發明這個證明方法的人後來成了一個國家的國王，他的名字叫加菲爾德，也是很遠地方的外國人。”
“還有一個方法嗎？！”沈括有些急切得問道。
“最後再講一個方法，也很巧妙，發明這個方法的是一個十二歲的外國少年，名字叫愛因斯坦。”沈方沒有提加菲爾德和愛因斯坦的年代，也沒有辦法提，隻好讓孩子們認為同樣是古人。
沈方在黑板上麵畫了一個大點的直角三角形，並將兩條直角邊標上a、b，將斜邊標上c。然後將每條邊對應的頂點，標上大寫的ABC，然後從C點，向AB邊畫了一條垂線，與AB邊相交，交點標明為D點。
“從直角的這個點，C點向斜邊畫一條垂線，這時形成兩個小三角形，三角形ACD和三角形BCD，這兩個三角形和三角形ABC是相似三角形。根據相似三角形的性質，不同相似三角形各邊的比例相同，可以得到以下公式。”
沈方在黑板上寫下：
AB/AC=AC/AD
AB/BC=BC/BD
AC^2=AB*AD
BC^2=AB*BD
AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB*(AD+BD)=AB^2
“AC和BC分別是兩條直角邊b和a，AB是斜邊c，兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。“
雖然這個證明方法比加菲爾德證明方法稍難一點，但是隻要認真看清楚線段之間的對應關係，還是很容易就理解了，這個證明方法隻添加了一條垂線，便用純代數的方法證明了勾股定理，讓沈括、沈披兩人對愛因斯坦這個小孩子產生了興趣。
“此子十二歲便有如此急智，日後必不可限量，他後來有什麽成就？”沈括問道。
“他嗎？”沈方猶豫了一下，還是決定稍微提一下，“愛因斯坦提出了一個有名的公式，能量等於質量乘以光速的平方。”
“光還有速度？”這下小孩子們都有了疑問。
“有，一秒幾十萬裏，太陽離地球很遠，太陽光到地球大約要走八分十三秒。”
“這麽高的速度還有平方，那豈不是能量將非常大。”
“愛因斯坦的這個公式隻對少數情況有用，比如太陽，太陽為什麽能有巨大的能量，便是因為太陽內部發生劇烈的反應，損失了許多質量，從而釋放出能量。”
“那太陽如果損失質量太多，那會有什麽結果。”
“太陽最終也會毀滅，不過在太陽毀滅之前，地球早就被燒沒了。”
沈披、沈括還有幾個孩子都無法接受太陽和地球遲早將要毀滅的事實。
“那我們怎麽辦？”沈德問道。
“還得十幾億年呢。人類曆史也不過幾萬年，再過幾萬年，整個人類就消失了，何必考慮這麽多。”
“幾萬年？不是說還有十幾億年嗎？”沈括喃喃道。
“益州路、吐蕃、河東路等地都由盆地構成，那盆地可不是天生就有的，是由太陽的小行星撞擊而成。每一次撞擊便足以毀滅地球上絕大多數生物，並將太陽遮蔽，進入冰河時期，地球曆史上這樣的文明已經曆過許多次。以後，地球同樣會遭遇到足以毀滅所有生物的撞擊，隻不過這個時間足夠長，長到人類無需擔憂。人類最需要擔心還是自己，特別是戰爭。昌國現在開發的武器威力已經無敵於天下，但是為了爭奪資源和土地，遲早會出現一次足以毀滅一座城市的武器，為了避免這種情況的出現，就需要將華夏文明澤被全世界，讓所有的資源和土地都得到有序的控製，隻有這樣才能避免更大的災難。”
沈方駭人聽聞之言並沒有加深沈括等人的恐懼，他們的腦海中現在已經被冷冰冰的現實擠占，原來不僅人身是短暫、脆弱的，甚至連地球和太陽都不是永恒的。
過了許久，沈德才蒼白著小臉問道，“三哥，你不害怕嗎？”
“我剛開始聽說時，也害怕過，後來習慣了就不害怕了。我們能把這一輩子活得精彩已經足夠，何必考慮幾百年、上千年之後的事呢？”
沈德重重地點了點頭，沈封、沈朗也相視一眼，從對方眼中看到了一絲輕鬆。
~~~~~~
殘酷的現實沒有人願意麵對，但是萬物生住壞空，也是理的一部分，如果能深入理的真諦，獲得了精神世界的自由，物質世界的毀滅又有何防？沈披、沈括用理氣論來說服自己，穩固略微鬆動的思緒，反到是幾個小孩到草廬外麵跑鬧了半個小時，呼吸了新鮮空氣之後，把不愉快的事通通忘在了腦後。
“大家知道聲音是什麽嗎？”
“聲音？不就是耳朵聽到的聲音嗎？有什麽好說的？”沈德問道。
沈方知道這個時代的人根本無法深入思考聲音產生的原因，便直接說道，“聲音的本質是物體的振動。人之所以能聽到聲音，是因為物體振動後，引起空氣的振動。大家現在應該知道空氣中有各種分子，這些分子會因物體振動，在聲音的傳播方向發生波動，最後使耳朵內部的耳膜發生振動，使人聽到聲音。”
“因為所有物體的振動都會發出聲音，所以耳朵聽到的是各種嘈雜的聲音。在這些噪音中，有一些特殊的聲音，我們稱之為樂音。”
“五弟，有哪些樂音，你知道嗎？”
“宮商角徵羽！”沈德朗聲回答道。
“那這些聲音是怎麽確定的？”
沈德沉默了。
“通過三分損益法。”沈括說道。
“商角徵羽，四音是根據宮音通過損益方法確定的。但宮這個原始音如何確定？”
“此音本來如此！”
“宮此音，古今中外無數樂師都把同樣的音高認做是宮音，這確實是一種巧合，看來人類對美好的聲音有相同的感知。”沈方點頭道，“樂音也是物體的振動，振動頻率越快，音越高。以古琴為例，相同的材質弦越長，頻率越慢，音越低；弦越短，頻率越快，音越高。假設在一把古琴之上，撥動此弦，其聲音頻率是100，那麽當它的弦長減少為一半時，它的頻率將變成200，這時撥動頻率為100的弦，頻率為200、400、800的弦會發生共振。很顯然，每一個頻率，都會有這種翻倍的頻率組合，但隻有頻率為261.6的聲音才是樂師們共同認定的標準的宮音。”
“頻率261.6至可以與之發生共鳴的523.2之間稱之為一個八度。宮商角徵羽就是此八度中間的五個標準的聲音。樂師們在長期的實踐中，發現頻率之比為2比1，3比2，4比3時，不同的樂音組合彈奏起來更加悅耳。2比1就不必說了，一個八度，可以形成共鳴。那麽為什麽3比2，4比3更加悅耳呢？這是由頻率的性質所決定的。”
“昌國技術學院曾經有一節課是關於鍾擺規律的，我隻說出結論。鍾擺的快慢和鍾擺的重量、幅度無關，隻和鍾擺的長短有關，頻率有同樣的規律。”沈方在黑板上麵畫了一個正弦波的圖形，“大家看上麵這個圖形，這個圖形模擬鍾擺的一次擺動，同時也模擬了聲音的一次振動。所謂頻率為261.6，就是指在一秒鍾以內振動了261.6次。很明顯，波長越長，頻率越低，波長越短，頻率越高。”
“根據這個特性，我們在黑板上的這個頻率內部，畫比這個頻率高一倍的頻率波形，可以清楚地看到頻率在橫線上有重合的部分。而比這個頻率高2分之一的波形，就是現在這個，原頻率有一次波峰、一次波穀，而新頻率有兩次波峰、一次波穀，頻率在橫線上也有重合的部分。比這個頻率高3分之一的波形，就是這個，原頻率有兩次波峰、一次波穀，而新頻率有兩次波峰、兩次波穀，頻率在橫線上也有重合的部分。”沈方一邊在黑板上畫圖形，一邊講解。
“當然5比4、6比5也可以畫出這樣的圖形，但在實際實用中，有3比2、4比3的規律就足夠用了。”
書中提到人類曆史有幾萬年，特在此說明：
現在科學已逐漸證明，類人猿和智人並沒有關係。
通過基因突變達到優勝劣汰，已經被現代倫理所直接否定。
目前掌握的證據是在距今幾萬年之前，地球的各個角度出現了智人，將當時存在的原始人全部滅絕。
現代人是智人的後代，和十幾萬年前、幾十萬年前的原始人並沒有關係。
通過基因技術的解析，地球上所有人的基因都來自於非洲，然後在中亞進行了分流，分別流轉到歐洲、南亞、東亞。
從基因上來看，雲南、西藏一帶的原住民的基因，還不如越南、日本與漢族主體民族的基因相近。
至於智人如何而來，如果穿越之說難以讓人相信，外星人占領地球，將文明的種子留在地球似乎將是唯一靠譜的答案。
書中提到的2：1，3：2，4：3為什麽更悅耳的解釋是本人的強行解釋，雖然百度樂理並沒有找到和這個解釋類似的解釋，但想來應該沒錯。2：1，3：2，4：3將正弦波控製在兩個以內，如果5：4、6：5正弦波形就比較複雜了。