第144章 沈氏鋼琴

  “方兒這頻率說，還有這個波形圖倒是給了我不少啟發。”沈括皺著眉頭若有所思道，“如果不同樂音的波形在模線位置有重疊，便合了拍子，如果瞎彈一氣，既使用同樣的樂譜也彈不出動人的音樂。”


  “爹爹所言極是，這個波形圖左右移動叫做相位。人的耳朵很有意思，對音高特別敏感，但是對相位卻感覺不是很明顯，隻是隱隱覺得合不上拍，節奏不對。現在的樂器，音準都沒有問題，彈奏高手，其本質也就是對相位位置的把控。完美的演奏就是能將每一個頻率在合適地時間彈下。”


  “那這波形的高低和樂音的高低有何關係？”


  “正如鍾擺的擺幅不影響擺動的時間一樣，波形的高低隻會決定所彈奏聲音的大小，和音高卻沒有關係。就象用在古琴上麵輕撥一根弦和重重撥一根弦，其聲音大小有變化，但是其音準卻沒有變化。這個波形的高低也可以叫做振幅。”


  “既然方兒你說這聲音隻和頻率有關，頻率又有一固定的數字，那為何還有不同的樂器，甚至不同的人發出的聲音也不相同？”


  “爹爹你說的是聲色，當產生聲音之時，振動的便不可能隻是某個單一的樂器，比如古琴，撥動的是弦，可是振動的不僅僅是弦，還有琴體之上固定弦的嶽山和龍齦，基至還有琴背後的龍池、鳳沼、雁足都會因弦的振動，而形成共鳴。不同材質的琴體所產生的共鳴作用也不相同，所以有音色的差異。總體而言，材質越緊致，材質內部空隙對聲音的影響便越小，可以充分發揮材質外形對音色的影響。這也是古時有人用燒焦的木頭或屋簷上的木頭製作樂器的原因。而人發聲，表麵看是嗓子裏的聲帶發音，但卻受口腔、鼻腔、胸腔、腹腔甚至整個身體共鳴的影響，所以人的音色很難完全相同。”


  “大哥，你覺得方兒講得怎麽樣？”沈括看著沈方，滿意地說道。


  “以音入道，也不過如此吧？”沈披說道，“理學大興，就在今時。”


  “我也有同感。以前我們欣賞評價音樂，往往是憑個人的感受，而方兒卻帶來了另外一種思路，用數字和樂音的根源來分析音樂，如果能運用好，可以快速提升音樂鑒賞水平和音樂演奏能力。”


  “我講的這些是許多人研究後的結果，我隻是照搬而已。”


  “是哪位聖賢？”


  “我們華夏之地是管子首先提出的三分損益法，但是在西方也有和三分損益法極為類似的五度相生律，卻是由剛才講過的數學家畢達格拉斯所發現。五度相生律在確定徵、商、羽、角時與三分損益法相同，宮生徵，宮乘以二分之三；徵生商，徵乘以四分之三，為八分之九；商生羽，商乘以二分之三，為十六分之二十七；羽生角，羽乘以四分之三，為六十四分之八十一。”


  “畢氏繼續用角乘以二分之三，為一百二十八分之二百四十三，形成第7個音。”沈方一邊在黑板上寫到1到7七個數字，一邊寫下各音的分數。“第4個音，畢氏卻沒有用第7個音來生成。因為第四個音乘以二分之三，即可得到高八度的宮，即二倍的宮，那麽二倍的宮除以二分之三，即可得到第四個音，也就是的三分之四。”


  黑板上出現兩個整數1和2，1和2之間是六個分數，分別是：9/8、81/64、4/3、3/2、27/16、243/128。從1到243/128這七個數與1到7逐一對應，然後沈方寫了1到7的唱名。


  “三哥，我有一個問題，一個八度為什麽是七個音，而不是六個音或八個音？”沈德問道，沈德的問題同樣引起了沈披和沈括的興趣，他們也不理解為什麽沈方要在宮商角徵羽之上再加上兩個變徽、變宮兩音。變徽、變宮乃至更加細微的一個八度十二個音階自古以來就有學者進行研究，西漢學者京房便提出了一個八度內分為五十三個音階的新音律，但是卻從來沒有人揭示過其中的奧妙，仿佛總是隔著一層窗戶紙。


  “其實所有音階都是為了與初始音和諧共鳴。人們很早就知道頻率為初始音兩倍頻率的音與初始音聽起來幾乎一樣，而且還可以發生共振相象。我們把初始音的頻率記作F宮音，兩倍初始音的頻率記作2F。”


  “一根頻率為F弦隻要按住中間，兩邊的頻率便都成為2F，2F與F聽起來很和諧。人們很容易嚐試按在F弦的三分之一處，這時短弦為3F，而長弦為3/2F，也就是徵音，這兩個音聽起來也很和諧。”


  “人們也嚐試按在F弦的四分之一處，這時短弦為4F，而長弦為4/3F，這兩個音聽起來也和諧，但是明顯不如3/2F和諧。所以人們便找到了一個規律，按3/2的比例不斷地尋找與F和諧的音。”


  “很顯然，F乘3/2的平方，應該與F和諧一些，但9/4已超過了2，這個音是高一個八度的商音，根據頻率減半聲音和諧的特點，9/4除以2等於9/8F，這就是商。”


  沈方這是第二次講宮商角徵羽的生成，但這次明顯和上次講的不同，第一次隻是介紹其然，而這一次卻是在講三分損益法的所以然，也就是其原理和目的，沈德等小孩子倒也罷了，沈披、沈括卻被猛然點醒，那層窗戶紙一捅就破，原來這麽容易，隻是以前從來沒有人講過，他們也沒有仔細思考過其中的機理，難道這就是理學的魅力？！

  “同樣的，F乘3/2的三次方，也應該與F和諧一些，但27/8已超過了2，這個音是高一個八度的羽音，根據頻率減半聲音和諧的特點，27/8除以2等於27/16F，這就是羽。”


  “同樣，F乘3/2的四次方，也與F和諧一些，但81/16已超過了4，這個音是高兩個八度的角音，根據頻率減半聲音和諧的特點，81/16除以4等於81/64F，這就是角。”


  “商角徵羽全部是以商乘以若幹次3/2推導得來，那麽為什麽不讓F乘以3/2的五次方？畢氏這麽做了，243/32超過4而小於8，也是高兩個八度的音，243/32除以4等於243/128，這就是變宮音。也就是黑板上的7。”


  “那麽還能繼續乘3/2，分出更多的音嗎？當然可以！隻是這麽分下去永遠也分不完，但是大家不要忘記，我們分出這些聲音的目的，是要找與F音和諧的聲音，如果3/2乘若幹次方後，能與2的若幹次方接近，那麽就達到了分音的目的。”


  “3/2的五次方約等於7.59和2的三次方8很接近。所以這五個音：23567加上初始音1，和2F的親和音4正好組成7個音。就是這七個音：do、re、mi、fa、sol、la、si、do”沈方一邊指著唱名、一邊唱。


  “方兒，這音律之說確實講透了，而你唱的這些奇怪的字音準也對，隻是這奇怪的符畫太難辨認。”沈括對這些奇奇怪怪的符號甚為不滿。


  “記號而已，以後也可以直接指著數字唱。”


  “這個發和西，古琴譜中從未見過，但是在笛譜、琵琶譜裏卻有變徵、變宮兩音，若是用方兒講的數字來記錄，這琴譜便極易流傳。”


  “正是如此，這種記譜的方法為簡譜，確實應該多加提倡。畢氏不僅定了七音的頻率，而且他還做了關於弦長與頻率的試驗。得出的結論是，音準隻和弦長、弦的拉力有關。事實上，除了弦長和弦的拉力以外，弦的密度也對頻率有影響。後來的科學家對波進行了大量的研究，已經有成熟的公式，不知道大伯和爹爹可有興趣。”


  “快快講來！”沈披和沈括已覺收獲頗多，沒想到還有更加精細的分析，沈披便急切地說道。


  “首先是波長公式，波長等於2倍的弦長除以正弦波經過橫線的數量。數量取一時，波長就等於2倍的弦長。”


  “其次是波速公式，波的速度等於波長乘以頻率，能反應波傳遞的速度。”


  “第三也是波速公式，能夠體現波如何生成的公式，波速等於張力除以密度然後再開根號。也就是說，張力越大，能產生的波速越快，密度越大，能產生的波速越慢。”


  “第二個公式和第三個公式裏麵都有波速，很容易得出來，頻率等於張力除以密度然後再開根號，然後再除以二倍的弦長。這個公式很清楚地表明，在弦樂器中，弦越長，音越低；拉力越緊，音越高；弦的密度越大，音越低。”


  “如果將相同質地不同長度的鋼絲繃緊，然後用重錘擊打，便可以根據鋼絲的長度，調出七個八度的所有的標準音，這樣的樂器叫做鋼琴。”


  “那豈不是將為七七四十九個音階的樂音？”


  “不隻四十九個音階，每一個八度有十二個樂音，一共八十四個音，然後再加上三個低音、一個高音，共八十八個標準音。”


  “此十二音階從何而來？難道也是從三分損益法中得來？”


  “正是如此，因為3/2的五次方和2的三次方很接近，可畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之內，這麽小的差距也許沒什麽，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那麽這個近似值帶來的誤差便很大。於是人們開始尋找更好的近似值。”


  “通過計算，西漢學者京房發現，3/2的五十三次方和2的三十一次方也很接近，但人耳朵能接受的八度卻在七個左右，所以3/2的十二次方129.7和2的七次方128這兩個接近的數便成為較為精確的選擇。於是古人們把“五度相生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，如今就有了12個音符。這種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2048F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。”


  “既然如此，七個八度，八十四個音階正好夠用，為什麽還要再增加四個聲音？”


  “有兩個原因，第一原因是人的耳朵能分辨的頻率差值是2，而最低的幾個音已經達到這個分辨的極限；第二個原因是在這八十八個標準音之外的聲音聽起來很不舒服，所以就舍掉了。”


  “這些樂音用什麽方法來確定？難道全部用三分損益法？”


  “當然不是，三分損益法用到後麵，便已經嚴重地失真。一個八度十二個音的每兩個音之間的比例應該是相同的，那麽隻需要將二開十二次方便可以得到這個比例關係。這個比例近似值是1.059463，也可以簡單記成1.06。”


  “開十二次方？”沈括乃是有名的數學家，但開十二次方還是一個不小的計算量，“這麽大的工作量是怎麽做到的。”


  “華夏有一奇人朱載堉（注：明朝一皇室子弟）用珠算開方的辦法計算出來這個近似值。而這個數字的7次方正好約等於3/2，可以完美地還原所有的音階，而且做到每個音階之間比例相同。而有了這些精確的比例關係，88鍵鋼琴的每一根弦的長度和位置便可以精確地製造出來，隨後隻需要調節鋼絲的張力便可以調教出來一架完美的鋼琴。”


  “哇！”沈德這些小孩子興奮地叫了起來，“三哥，你得答應送給我一架。”


  沈封、沈朗也鬧著要鋼琴。


  “沈氏鋼琴自然要做到沈家子弟人手一架。”


  “你們幾個孩子先別想著要鋼琴。那這簡譜所用的唱名還有用嗎？現在成了十二個音階了，比原來多了五個音。”沈披眼睛一瞪，大聲道。


  “簡譜這七個音當然有用，增加的五個音離初始音F更加遙遠。在一個八度裏，與1最近的是5，然後便是高音1的親和音4。2367與1也比另外五個音和諧一些。而且，大家發現沒有，”沈方指著數字，念的卻是該數字對應的唱名，“按照三分損益法，2與1、3與2、5與4、6與5、7與6之間的頻率比例都是9比8，這個比例叫做全音，而4與3、高音1與7之間的頻率比例都是256比243，這個比例叫做半音。五個全音之間便以五個新加進來的音階分各分成了兩個半音。”


  “這些半音在簡譜國的計法也很簡單，被計作：1#、2#、4#、5#、6#，讀作：升1、升2、升4、升5、升6。因為是半音，也可以計作：2b、3b、5b、6b、7b，讀作：降2、降3、降5、降6、降7。”


  在十二音階中，不能用1234567，而應用CDEFGAB，但在古代字母不宜使用過多，所以先用1234567替代。


  創作的過程，也是學習的過程，徹底地了解音樂的本質，並盡可能地傳遞給讀者，其價值應該大於簡單的爽文。


  最近一些章節，出現了大量地偏思辨，重邏輯的章節，因為主角畢竟是科學家轉世，應該比一般人更注重這些細節。