第226章 馬飛隨口說一句中值定理也太厲害了吧什麽都能扯得上然後群裏紛紛點讚
2020年8月15日。
??午餐是日常十一點左右。
??內容是豇豆五花肉、西紅柿雞蛋湯、豆腐、青椒豆幹。
??……
??高數呢當時學的時候學的一般，從零基礎開始可以，線代的話說是要至少給一周時間，我當時學的還行就可以從基礎班開始，概率論有點尷尬當時就是選的網課，分高是虛的，根本沒咋學。
??考研英語也著實有點頭疼，後麵再頭疼吧。專業課有兩門，當然先搞初試的數據結構，政治有點難頂，和英語一起學算了，暑假剩下半個月希望把數學中的高數基本夯實然後弄一下線代和概率論，然後開始做題。
??突然想整一下計劃。計劃以周為單位較為合適。
??細綱計劃
??細綱說明在緩衝休息日前後，應適當加大任務量，緩衝休息日應進行周總結
??8月15日（今天）數學高數0基礎
??①3.4 函數單調性與曲線的凹凸性（一）√
??②3.4 函數單調性與曲線的凹凸性（二）√
??③3.5 極值與最值√
??④3.6 函數圖像描繪√
??⑤3.7 弧微分與曲率
??8月16日數學緩衝休息日，
??8月17日數學高數0基礎
??①4.1 不定積分的概念與性質
??②4.2 積分方法一換元積分法（一）
??③4.2 積分方法一換元積分法（二）
??④4.3 分部積分法；
??8月18 日數學高數0基礎
??①4.4 有理函數不定積分
??②5.1 定積分的概念與性質（一）
??③5.1 定積分的概念與性質（二）
??④5.2 積分基本公式
??8.19 數學高數0基礎5.3、5.4、6.1、6.2；
??8.20 數學高數0基礎6.3、7.1、7.2、7.3；
??8.20 數學高數0基礎7.4、7.5、7.6、7.7。事件：買車票。
??8.21 數學高數0基礎7.8上冊結束、8.1、8.2、8.3（一）、8.3（二）。
??8.22 數學緩衝休息日
??8.23 數學高數0基礎8.4、8.5……
??……
??今天有五個視頻要看，要抓緊時間了。剛剛在群裏看馬濤馬飛討論，我不會+1-1的操作略微尷尬。但是直接麥克勞林公式也行。但是必須細心才行。
??好了看上一篇的末尾的
??例5e＜a＜b，證：a^b＞b^a.
??證明：
??趁筆記本係統更新看不到答案我先思考一下，這裏肯定是和函數單調性相關的，所以會有構造函數，會有一階導數，然後呢隻有一個不等式，因為＞e，所以很可能lnx也相關
??我覺得應該是構造一個跟e^blna-e^alnb相關的，那可以直接就是e^x，然後隻要證明blna＞alnb不就行了嗎？因為e^x在x＞0上遞增啊。好了來看湯老師怎麽做的
??證明：
??要證a^b＞b^a，即證blna-alnb＞0，
??令f(x)=xlna-alnx，f(a)=0，
??f"(x)=lna-a/x＞0，(a＜x＜b)
??則f(x)在[a，b]單調遞增.
??∴x＞a，f(x)＞f(a)=0，
??∵b＞a，∴f(b)＞f(a)=0.
??∴blna-alnb＞0，
??∴a^b＞b^a.
??前麵是判斷單調性，後麵例題是利用單調性做事
??例6證：當x＞1時，2(x)^?＞3-1/x.
??證明：令f(x)=2(x)^?-3+1/x，f(1)=0，
??f"(x)=[x^(-?)]-1/x2＞0，（x＞1）
??則f(x)在[1，+∞)上單調遞增，
??∴當x＞1時，f(x)＞f(1)=0，
??即2(x)^?＞3-1/x.
??單調性的重要應用，證明不等式
??二、函數的凹凸性
??㈠
??f((x1+x2)/2)＜[f(x1)+f(x2)]/2凹
??f((x1+x2)/2)＞[f(x1)+f(x2)]/2凸
??㈡判別法
??引理……二階
??證明……泰勒……
??……
??睡一會兒，有點困。13：37。
??……
??14：53。
??注解若f""(x)＞0，當x≠x0時，f(x)＞f(x0)+f"(x0)(x-x0)；
??若f""(x)＜0，當x≠x0時，f(x)＜f(x0)+f"(x0)(x-x0)；
??定理Th2，f(x)∈C[a，b]，(a，b)二階可導，
??〈1〉若f""(x)＞0，（a＜x＜b），則y=f(x)在[a，b]上是凹的；
??〈2〉若f""(x)＜0，（a＜x＜b），則y=f(x)在[a，b]上是凸的；
??證明：……
??不想寫。利用引理。證出f中點函數值與兩點函數值之和的一半的關係。
??……
??注解凹凸性判斷步驟
??1°，X∈D定義域
??2°，f""(x)=0或不存在時x何值
??3°，每個區間，f""(x)與0的大小比較
??例1y=lnx，判斷凹凸性
??解：x∈(0，+∞)
??y"=1/x，，y""=-1/x2，
??∵y""＜0，∴y=lnx在(0，+∞)內為凸函數
??例2x3凹凸性
??……拐點
??例3e^(-x2)
??……兩個拐點（-1/2^?，e^-?），（1/2^?，e^-?）
??3.4節解決，休息看一下一會兒看3.5重要的一節，極值與最值。
??……
??3.5 極值與最值
??一、函數的極大值與極小值
??㈠define
??……
??結論：①x=a為f(x)極值點，推出，f"(a)=0或不存在，反之不對
??②x=a為f(x)極值點且f(x)可導，推出，f"(a)=0，反之不對
??反例1、2感覺這個看過
??㈡求極值的步驟
??1°，x∈D
??2°，導數等於0或不存在確定很多個x點
??3°，判別法
??方法一：（第一充分條件）
??Th1，①if {x＜x0時，f"(x)＜0，x＞x0時，f"(x)＞0}，x=x0極小點
??②if {x＜x0時，f"(x)＞0，x＞x0時，f"(x)＜0}，x=x0極大點
??例1f(x)=x3-6x+2.
??……
??方法二（第二充分條件）
??Th2，設f"(x)=0，f""(x){＞0極小點，＜0極大點}
??證明：……極限保號性……
??例2f"(1)=0，lim(x→1)f"(x)/sinπx=2，求x=1是極大點還是極小點？
??解：法一：
??∵lim(x→1)f"(x)/sinπx=2＞0，
??∴?δ＞0，當0＜|x-1|＜δ時，f"(x)/sinπx＞0，
??①f"(x)＞0，x∈（1-δ，1）
??②f(x)＜0，x∈（1，1+δ）
??∴x=1是極大點.
??法二：f"(1)=0，
??2=lim(x→1)f"(x)/sinπx
??=lim(x→1)f"(x)/sin[π+π(x-1)]
??=-lim(x→1)f"(x)/sinπ(x-1)
??=-lim(x→1)f"(x)/π(x-1)
??=-1/πlim(x→1)[f"(x)-f"(1)]/(x-1)
??=-1/πf""(1)
??推出f""(1)=-2π＜0，
??∵f"(1)=0，f""(1)＜0，
??∴x=1為極大點.
??例3圖像
??……
??二、最大值與最小值
??可能的極值點加上端點，最小的就是最小值m，最大的就是最大值M.
??例1略，湯老師計算錯誤。
??例2設p＞1，證：當x∈[0，1]時，
??1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1.
??證明：令f(x)=x^p+(1-x)^p∈C[0，1]
??令f"(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0得x=1/2
??∵f(0)=1=f(1)＞f(1/2)=1/2^(p-1)
??∴m=1/2^(p-1)，M=1，
??∴原式得證.
??實際問題
??例1運費
??思考
??第五節結束
??看第六節。
??3.6 函數圖像描繪
??內容不多，也不太重要。但聽的話就要聽清楚。
??1°，x∈D
??2°，增減性，f"(x)等於0或不存在的點，增減分界點，駐點
??3°，凹凸性，f""(x)等於0或不存在的點，凹凸分界點，拐點
??4°，漸近線
??5°，描圖
??……
??水平漸近線、鉛直漸近線、斜漸近線。
??lim(x→∞)f(x)=A，lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→∞)[f(x)-ax]=b.
??例1234
??二、作圖
??1°，x∈D
??2°，增減性，f"(x)等於0或不存在的點，增減分界點，駐點
??3°，凹凸性，f""(x)等於0或不存在的點，凹凸分界點，拐點
??4°，漸近線
??5°，畫表
??x （）？（）？（）？（）
??f"(x)+ x1 - x2
??f""(x)+ x1 + x2
??f(x)凹增 x1 凹減
??6°，找關鍵點描圖
??……
??3.6節重點是漸近線。
??3.7 弧微分與曲率
??一、弧微分
??先吃晚飯，一會兒再來看3.7節。
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