第322章 柯爾莫哥洛夫的隨機過程論

  柯爾莫哥洛夫是隨機過程論的奠基人之一。


  柯爾莫哥洛夫證明：相容的有限維概率分布族決定無窮維概率分布的“相容性定理”，解決了隨機過程的概率分布的存在問題。


  柯爾莫哥洛夫的學生阿諾爾德說：“老師，你的隨機過程是什麽？”


  柯爾莫哥洛夫說：“一件事，或者一個係統，他的發生，需要有很多零部件，而這些零部件都會有一定的概率。通過研究這些零部件的概率，來研究這個係統的可行性和穩定性。”


  阿諾爾德說：“聽起來很麻煩呀，我們以後會接觸到這些東西嗎？”


  柯爾莫哥洛夫說：“那是肯定的。很多東西在製造以前，我們需要模擬它的存在，已經它運作時的合理性。所以以後，肯定有用的。”


  阿諾爾德說：“可是，為什麽不直接跳過這個麻煩的過程。畢竟是理論化的，離顯示還差些距離。我們直接研究存在的東西就可以了。如果沒有，我們直接製造出來，不管三七二十一。”


  柯爾莫哥洛夫說：“簡單的，肯定是這樣的，但是複雜的，尤其是昂貴的。如果造出來，根本就不合理，甚至沒法用，那就白花很多錢，不劃算。”


  阿諾爾德恍然大悟的點點頭。


  柯爾莫哥洛夫說：“除此以外，我們模擬這個隨機過程的時候，會更加深刻的理解這個機構。如果隻是製造出來用，那複雜一些的東西，我們未必能完全明白其內部的構造。”


  提出了現代的一般的條件概率和條件期望的概念並導出了他們的基本性質，使馬爾可夫過程以及很多關於隨機過程的概念得以嚴格地定義並論證..

  20世紀20年代，在概率論方麵他還作了關於強大數律、重對數律的基本工作：他和辛欽成功地找到了具有相互獨立的隨機變量的項的級數收斂的必要充分條件；


  他成功地證明了大數法則的必要充分要件；證明了在項上加上極寬的條件時獨立隨機變量的重對數法則；

  得到了在獨立同分布項情形下強大數法則的必要充分條件.

  20世紀 30年代，他建立了馬爾可夫過程的兩個基本方程.

  他的卓越論文《概率論的解析方法》為現代馬爾可夫隨機過程論和揭示概率論與常微分方程及二階偏微分方程的深刻聯係奠定了基礎.

  他還創立了具有可數狀態的馬爾可夫鏈理論.

  他找到了連續的分布函數與它的經驗分布函數之差的上確界的極限分布，這個結果是非參數統計中分布函數擬合檢驗的理論依據，成為統計學的核心之一.

  1949年，格涅堅科和柯爾莫哥洛夫發表了專著《相互獨立隨機變數之和的極限分布》，這是一部論述20世紀30年代以來，柯爾莫哥洛夫和辛欽等以無窮可分律和穩定律為中心的的獨立隨機變量和的弱極限理論的總結性著作.

  在20世紀30—40年代之交，柯爾莫哥洛夫建立了希爾伯特空間幾何與平穩隨機過程和平穩隨機增量過程的一係列問題之間的聯係.給出了這兩種過程的譜表示，完整地研究了它們的結構以及平穩隨機過程的的內插與外推問題等.

  他的平穩過程的結果創造了一個全新的隨機過程論的分支，在科學和技術上有廣泛的應用；而他的關於平穩增量隨機過程的理論對於各向同性湍流的研究有深刻的影響.